Black Scholes

Best Binary Options Brokers 2021:
  • EvoTrade

    The Best Broker! Try it and get a 10 000 $ bonus!

  • NS Broker
    NS Broker

    5000$ bonus to each trader!


    Best Options Broker 2020!
    Great Choice For Beginners!
    Free Trading Education!
    Free Demo Account 1000$!
    Get Your Sign-Up Bonus Now!


    Only For Experienced Traders!


Black-Scholes Model History and Key Papers

This page is an overview of main events and papers related to the Black-Scholes option pricing model. Besides works of its main authors, Black, Scholes, and Merton, we will also investigate earlier ideas which influenced the model, and other researchers (many of them famous for other models) who played a role in its development, such as Bachelier, Samuelson, Treynor, Fama, or Miller.

Option Trading and Pricing Before 1900

The publishing of the Black-Scholes model (spring 1973) roughly coincides with the start of option trading at the newly opened Chicago Board Options Exchange (26 April 1973) – two events which continued to reinforce one another’s importance in the years that followed. However, both option trading and efforts to mathematically model option prices are much older.

Instruments similar to today’s options have been around for more than two thousand years. Their oldest documented use dates back to Ancient Greece, where Thales of Miletus (otherwise mainly known from geometry) reportedly bought rights to use olive presses, speculating that an upcoming olive harvest would be larger than expected. Option-like instruments were also traded during the 17th century Dutch tulip bubble.

The first organized option market was set up in late 17th century London, trading both puts and calls (the latter called “refusals”). In the US, option trading (though unstandardized and therefore very illiquid) dates back to the second half of 19th century.

We can assume that people trading option-like instruments in historical times might have taken efforts to understand and price them, but we can only guess how they did it, if at all.

Louis Bachelier (1900)

The first known work applying advanced mathematics to option pricing (and to finance in general) was by French mathematician Louis Bachelier. His thesis, titled Theory of Speculation [1], used the concept now known as Brownian motion (from physics) or Wiener process (from mathematics) to model stock option prices – the same concept that provides the foundation of Black-Scholes and many other financial models. The date of Bachelier’s thesis defense, 29 March 1900, is sometimes mentioned as the origin of quantitative finance.

Like many other revolutionary ideas, Bachelier’s work received rather mixed reaction at that time [15]. He got a pass, though not the highest grade for his thesis, and had it published in a prestigious journal. Nevertheless, his ideas, which he continued to develop in subsequent years, didn’t have much influence in finance until many decades later.

Option Pricing Research in the 1960’s

Bachelier’s work was rediscovered for the financial community in the 1950’s by none less than Paul Samuelson. A number of papers expanding and improving on Bachelier’s ideas were published by different authors in the 1960’s, some of them directly mentioned in the Black and Scholes paper in 1973.

While Bachelier got relatively close to the mathematics of the eventual Black-Scholes model, his work had a number of shortcomings, which the 1960’s authors were trying to fix.

Besides slightly different underlying logic that lacked the key no-arbitrage principle of Black-Scholes, and besides different treatment of the model’s inputs like volatility or interest rate, Bachelier worked with normal distribution of prices (not returns), which effectively assumes prices can be negative. On the contrary, the Black-Scholes model assumes returns (not prices) to be normally distributed and therefore prices lognormally distributed. For example, for a stock currently trading at $10, the Bachelier version would consider a move of $20 to either side (to -$10 and $30) equally likely, which of course does not reflect the reality of most underlyings, especially on longer time horizon (exceptions where normal prices might be suitable include spreads and, perhaps, interest rates).

Some of the key 1960’s works addressing the limitations of Bachelier’s model include Case Sprenkle (Warrant Prices as Indicators of Expectations and Preferences [2]), James Boness (Elements of a Theory of Stock-Option Value [3]), and Paul Samuelson himself (Rational Theory of Warrant Pricing [4]).

They got very close to the eventual Black-Scholes model, with just small details remaining to fix. In particular, their option price formulas included arbitrary parameters, such as expected return of the underlying stock.

In a way, almost all of the Black-Scholes model had been developed before Black and Scholes, who only added the last, though very important step.

Black, Scholes, and Merton before 1973

The model is mostly known as Black-Scholes, quite unfairly excluding the name of Robert Merton (but it was him who first came up with the name “Black-Scholes model”). Not only is Merton’s contribution to the model as significant as Black’s and Scholes’s, but all three were in close contact in the years and months leading to the publication of the model in 1973.

Fisher Black (1938-1995), the oldest of the three, received Ph.D. in applied mathematics from Harvard in 1964. His interest in quantitative finance was first ignited a year later, when he joined the consultancy firm Arthur D. Little and met Jack Treynor, who had just published several papers on asset valuation.

Under the mentorship of Treynor, Black started his own research in warrant pricing and the newly developed Capital Asset Pricing Model (CAPM). This model, which established the relationship between risk-free interest rate, a risky asset’s return, and its risk (beta, closely related to variance and thereby volatility), was an essential influence in the later Black-Scholes model.

When Treynor left the firm for Merrill Lynch in 1966, Black inherited his case work. The two stayed in contact and co-published several papers in the 1970’s.

Myron Scholes (born 1941) received his Ph.D. from the University of Chicago in 1969. He was writing his dissertation under Eugene Fama (known as author of the Efficient Market Theory and the Fama-French model) and Merton Miller (mostly known for the Modigliani-Miller theorem). These two not only shaped Scholes’s academic interests and future research, but, as it later turned out, played a significant role in getting the Black-Scholes model published.

In 1968, Scholes joined the Massachusetts Institute of Technology (MIT) Sloan School of Management, where he met Black. It was Michael Jensen (known for Jensen’s alpha) who helped match Black and Scholes – he had known Scholes from his studies under Merton Miller and met Black on a consultancy project.

Robert Merton (born 1944) was already at MIT at that time, doing his Ph.D. under the leadership of Paul Samuelson – at the exact same time when Samuelson was intensely working on his warrant pricing research. In 1969 Samuelson and Merton published a paper titled A Complete Model of Warrant Pricing that Maximizes Utility [5], which addressed some limitations of Samuelson’s earlier models and linked the warrant’s price to stock price, a similar approach that Black was taking in his research.

After receiving Ph.D. in 1970, Merton became a colleague of Scholes at Sloan and started teaching the new derivative pricing methods to Master’s students, before the Black-Scholes model was released to the wide public [17]. Samuelson continued to influence Black, Scholes, and Merton in the final shaping of their theory.

The Original Black-Scholes Paper (1973)

The paper that first introduced the model to the world, The Pricing of Options and Corporate Liabilities by Black and Scholes [7], was officially published in spring 1973, but it was far from a smooth process.

In an article from 1987 [11], Black recalls how they first submitted the paper to the Journal of Political Economy and then to the Review of Economics and Statistics, and got rejected by both. It was only after Eugene Fama and Merton Miller reviewed the paper and suggested it might be worth a second look that Journal of Political Economy eventually published it in the May-June 1973 issue.

In the meantime, Black and Scholes published empirical tests of the model in The Valuation of Option Contracts and a Test of Market Efficiency [6].

Merton’s Extension (1973)

Almost at the same time as Black and Scholes, Merton presented his own contributions to the model in a paper titled Theory of Rational Option Pricing [8]. This is also where he coined the name “Black-Scholes model”.

In the paper he suggested several extensions to the model. The ability to account for dividends is the most widely known one, but even more importantly, Merton provided an alternative derivation of the Black-Scholes formula, valid under weaker assumptions and therefore more widely usable.

Futures Options: Black Model (1976)

It may be useful to remind ourselves of the historical context of the time when the Black-Scholes model was published – the end of Vietnam war, collapse of the Bretton-Woods system, Richard Nixon’s policies and Watergate scandal, the 1973 oil crisis, stock market crash, high inflation, high interest rates, and the longest recession since World War II. High volatility and uncertainty contributed to increased need for risk management tools and innovations in the derivatives universe. Trading expanded both on and off exchanges.

In 1976, Fisher Black proposed a way to apply the Black-Scholes model to options on forwards and futures in The Pricing of Commodity Contracts [9].

The Black 1976 model, as it is now known, is mathematically almost identical to the Black-Scholes model (the Merton’s extension), with the difference being the use of (discounted) futures price as underlying in place of spot price. The method is also applicable to other kinds of derivatives, such as bond options, swaptions, or interest rate caps and floors.

Black’s work contributed to the introduction of futures options in early 1980’s – among the first underlyings were T-bonds, S&P500, Deutsche Mark, gold, or live cattle.

Currency Options: Garman-Kohlhagen (1983)

Another important extension of the Black-Scholes model was introduced by Mark Garman and Steven Kohlhagen in Foreign Currency Option Values [10]. It enabled the use of Black-Scholes with currency options – the largest of all option markets, though less visible as most of it is traded over the counter.

With currency pairs, two interest rates are entering the formula: the “domestic” rate (cost of funding, like Black-Scholes risk-free rate) and the “foreign” rate (interest earned on holding the foreign currency, which an option holder does not receive). Garman and Kohlhagen suggested that by plugging in the foreign interest rate in place of Merton’s dividend yield, Black-Scholes model can be used to price foreign currency options, because (continuous) dividend yield and interest earned are mathematically the same thing.

Nobel Prize (1997)

In 1997, 24 years after the Black-Scholes model was first published, Scholes and Merton were awarded the Nobel Prize in Economics “for a new method to determine the value of derivatives”. Unfortunately, having died of throat cancer two years earlier, Black was ineligible, but was repeatedly mentioned as contributor by the Royal Swedish Academy of Sciences, which awards the prize [13].

By receiving the Nobel Prize, Scholes and Merton joined their mentors – Paul Samuelson (Nobel Prize 1970) and Merton Miller (1990). Eugene Fama received the prize in 2020.


[1] Bachelier, Louis; Theory of Speculation (Théorie de la Spéculation), Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér 3, 17 (1900), pp. 21-86, translated by D. May

[3] Boness, James A.; Elements of a Theory of Stock-Option Value, Journal of Political Economy, Vol. 72, No. 2 (April 1964), pp. 163-175

[4] Samuelson, Paul A.; Rational Theory of Warrant Pricing, Industrial Management Review, Vol. 6, No. 2 (Spring 1965), pp. 13-31

[8] Merton, Robert C.; Theory of Rational Option Pricing, The Bell Journal of Economics and Management Science, Vol. 4, No. 1 (Spring, 1973), pp. 141-183

[9] Black, Fisher S.; The Pricing of Commodity Contracts, Journal of Financial Economics, Vol. 3, No. 1–2, January-March 1976, pp. 167-179

[10] Garman, Mark B.; Kohlhagen Steven W.; Foreign Currency Option Values, Journal of International Money and Finance, Vol. 2, No. 3 (December 1983), pp. 231-237

[12] Merton, Robert C.; Scholes, Myron S.; Fisher Black, Journal of Finance, Vol. 50, No. 5 (December 1995), pp. 1359-1370


Already have an account? Log in here.

The Black-Scholes-Merton model, sometimes just called the Black-Scholes model, is a mathematical model of financial derivative markets from which the Black-Scholes formula can be derived. This formula estimates the prices of call and put options. Originally, it priced European options and was the first widely adopted mathematical formula for pricing options. Some credit this model for the significant increase in options trading, and name it a significant influence in modern financial pricing. Prior to the invention of this formula and model, options traders didn’t all use a consistent mathematical way to value options, and empirical analysis has shown that price estimates produced by this formula are close to observed prices.

In their initial formulation of the model, Fischer Black and Myron Scholes (the economists who originally formulated the model) came up with a partial differential equation known as the Black-Scholes equation [1] , and later Robert Merton published a mathematical understanding of their model, using stochastic calculus [2] that helped to formulate what became known as the Black-Scholes-Merton formula. Both Myron Scholes and Robert Merton split the 1997 Nobel Prize in Economists, listing Fischer Black as a contributor, though he was ineligible for the prize as he had passed away before it was awarded.

Roughly, their model determines the price of an option by calculating the return an investor gets less the amount that investor has to pay, using log-normal distribution probabilities to account for volatility in the underlying asset. The log-normal distribution of returns used in the model is based on theories of Brownian motion, with asset prices exhibiting similar behavior to the organic movement in Brownian motion.

The formula helped to legitimize options trading, making it seem less like gambling and more like science. Today, the Black-Scholes-Merton formula is widely used, though in individually modified ways, by traders and investors, as it is the fundamental strategy of hedging to best control, or “eliminate”, risks associated with volatility in the assets that underlie the option.


The Black-Scholes-Merton Formula

Again, the Black-Scholes-Merton formula is an estimate of the prices of European call and put options, with the core difference between American and European options being that European options can only be exercised on their one exercise date versus American call options that can be exercised any time up to that expiration date. It’s also used only to determine prices of non-dividend paying assets.

The Black–Scholes-Merton formula of value for a European call option is (note: the formula for a European put option is similar)

​ ln K S 0 ​ ​ + ( r + 2 σ 2 ​ ) ( T − t ) ​ = d 1 ​ − σ ( T − t )

​ ln K S 0 ​ ​ + ( r − 2 σ 2 ​ ) ( T − t ) ​ , ​ where

  • σ \sigma σ represents the underlying volatility (a standard deviation of log returns);
  • r r r is the risk-free interest rate, i.e. the rate of return an investor could get on an investment assumed to be risk-free (like a T-bill).

On Volatility

Price of an Oil and a Cow ETF over three years Volatility, in the case of financial assets, is the measure of how much and how quickly the asset’s price changes. It’s a measure of uncertainty. If traders were certain that an asset was worth a certain amount, then they’d buy at that price and sell below it. They’d sit on it. But highly uncertain assets get traded at a wider range of prices. Implied volatility, what options use, is the value of the volatility of the underlying asset.

Prior to the Black-Scholes-Merton formula, investors had their own ways of estimating the price of options. These methods varied, but generally they incorporated some measure of implied volatility. Stocks with more volatility had a higher chance of having a very high value in the future, or a very low value. In the above graph, an OIL ETF and an ETF for Live Cattle (COW) are graphed, with the Oil ETF being a much more volatile asset (spiking up and down more). The price not only decreases more drastically (larger slope in the trend line), but on a daily basis the stock fluctuates more significantly (the price fluctuates from the trend line more drastically).

Because of the way options work, the buyer of a call only makes money if an asset is above the strike price. If it’s below that price, they don’t care how much below the strike it is, they have spent the same amount. But they do care how much above the strike price it is. As such, highly volatile assets (options with higher implied volatility) are more likely to make investors more money, and are more valuable.

High-level Explanation of the Black-Scholes-Merton Formula

The periodic daily returns for an Oil ETF for every day of the three years between Nov 1, 2020 and Nov 1, 2020. Roughly, this distribution shows the amount of each day’s gain or loss and the number of times that gain/loss happened. For instance, there were 98 days with 0% gain or loss in this 755 trading day period.

Example + Problem

Given the complexity of the model, it’s always good to see it in action:

Smart investors calculate the price of an option for themselves before they buy. If you have the chance to buy a European call option with the following parameters, what cost should you pay less than to make it worth it?

  • stock price: $50
  • strike price: $45
  • time to expiration: 80 days
  • risk-free interest rate: 2%
  • implied volatility: 30%

In other words, using the B-S-M formula, what should the cost of this call option be?

While the formula is involved, this is essentially a matter of plugging in the given variables:

​ ln K S 0 ​ ​ + ( r + 2 σ 2 ​ ) ( T − t ) ​ = 0 . 3 3 6 5 8 0 ​

​ ln 4 5 5 0 ​ + ( 0 . 0 2 + 2 . 3 2 ​ ) ( 3 6 5 8 0 ​ ) ​ = 0 . 1 4 0 0 . 1 0 5 + 0 . 0 1 4 ​ ≈ 0 . 8 5 1 = d 1 ​ − σ T − t

​ = 0 . 8 5 1 − 0 . 3 3 6 5 8 0 ​

Suppose you’re an investor and are curious what the market thinks the implied volatility of the S&P 500 is today. You know a few things:

  • You can assume that every other investor is using Black-Scholes-Merton formula for pricing.
  • You look a common ETF of the S&P 500, the SPY spider.
  • Today it’s priced at $216.
  • A European call option has a strike price of $210.
  • To expire, there are 30 days left from today.
  • The risk-free interest rate is 1.8%.
  • The market is pricing this European call option at $7.93.

Best Binary Options Brokers 2021:
  • EvoTrade

    The Best Broker! Try it and get a 10 000 $ bonus!

  • NS Broker
    NS Broker

    5000$ bonus to each trader!


    Best Options Broker 2020!
    Great Choice For Beginners!
    Free Trading Education!
    Free Demo Account 1000$!
    Get Your Sign-Up Bonus Now!


    Only For Experienced Traders!

What is the implied volatility?
(All answers are truncated.)

Note: Using Excel’s “Goal Seek” may be helpful.

Hedging to “Eliminate” Risk

Once an asset is priced, the key idea is to hedge the option by buying and selling the underlying asset in just the right way so as to “eliminate risk.” This is referred to as delta hedging or dynamic hedging. The idea is to maintain a zero option Greeks — delta, where delta is the sensitivity of an option to changes in the price of the underlying assets. This is a fairly complex form of hedging, and is principally performed by large investment institutions (investment banks, hedge funds, private equity funds, etc.). The formal calculation for delta is Δ = ∂ V ∂ S . \Delta = \frac<\partial V><\partial S>. Δ = ∂ S ∂ V ​ . That is the first derivative of the value of the option over the first derivative of the value of the underlying asset. As such, the basic strategy of delta hedging is to buy or sell some of the underlying asset (the denominator) in responses to changes in the value of that asset; it is to keep ∂ S <\partial S>∂ S static, even though the value of that asset change regularly.

One important note is that the risk eliminated here is not the risk that the underlying asset will go down in value; this is not to prevent normal negative returns from assets simply not performing, but to eliminate the more sharp shifts in price not correlated to changes in underlying value — the tail ends of that periodic daily return graph above where in a single day the price of an asset can change significantly, and then correct back to the original price in following days. Also, risk is never really “eliminated.” That is the goal, but there are always risks, like default risk, that are harder to control for.

Criticisms of the Black-Scholes-Merton Model

Nassim Nicholas Taleb, famous for his 2007 bestselling book “Black Swan” which discussed unpredictable events in financial markets, along with Espen Gaarder Haug has criticized the Black-Scholes-Merton model, saying that it is “fragile to jumps and tail events” and can only handle “mild randomness.” [3] This is one of a few known challenges to the model:

  • Fragility to “tail-risk” or other extreme randomness: In general, returns do not absolutely follow a normal distribution. The p p p -value on the Anderson-Darling normality test is 0.000 when applied to S&P returns, showing that market returns are leptokurtic (having greater kurtosis, or more concentrated about the mean with fat tails). [4]
  • The structure of B-S-M doesn’t reflect present realities: The B-S-M model assumes a market using European call options when most options traded today are American call options that can be sold at any point. It also does not allow for dividends, something that is commonly found in options.
  • Assumption of a risk-free interest rate: A theoretical calculation of risk-free rates is hard to come up with and, in practice, investors use proxies like the long-term yield on the US Treasury coupon bonds (generally 10-year bonds). However, this assumes that US Treasury bonds are “risk-free” when a more accurate statement would be that they’re what the market assumes the least risky investment vehicles.
  • Assumption of costless trading: Trading generally comes with exchange fees, the costs to buy or sell stocks and options, and the cost of time; the time it takes for the order to go through may result in changes to the price on the market. These costs can be managed, but are not included in the model.
  • Gap risk: Also the model assumes that trading occurs continuously, unlike reality, where markets shut down for the night and then can reopen at significantly different prices to reflect new information.

Empirically, significant pricing discrepancies between B-S-M and reality have occurred more often than if returns were log-normal. But the B-S-M model continues to be used. It is simple, easy to determine, and can be adjusted for various inadequacies.

A Volatility Smile [5] One of the more common criticisms of the B-S-M model is the existence of a volatility smile. The Black-Scholes-Merton pricing model suggests a constant volatility and log-normal distributions of returns, where, in reality, implied volatility varies widely. Options whose strike price are said to be “deep-in-the-money” or “out-of-the-money,” i.e. whose strike price is further away from the assumed underlying asset price, command higher prices than a flat volatility would suggest — their implied volatility is higher.


The notation is not standard mathematical notation but is the standard forms used in the finance industry.

The use of the logarithm function requires that the argument be a positive real to avoid infinities and complex numbers:

​ σ e − 2 σ 2 ( x − μ ) 2 ​ ​

​ σ e − 2 σ 2 ( lo g ( x ) − μ ) 2 ​ ​ 0 ​ x > 0 True ​

“Consider a call option to buy this stock a year from now, at a fixed price K \mathcal K . The value of such an option is:”

This is because a call option is worthless if an immediate profit can not be made.

“[C]onsider a put option to sell this stock a year from now, at a fixed price K \mathcal K . The value of such an option is:”

This is because a put option is worthless if an immediate profit can not be made.

​ − 2 lo g ( K ) + t ( − 2 q + 2 r + σ 2 ) + 2 lo g ( currentPrice ) ​ ) + 1 ) − K erfc ( 2 2

​ 2 lo g ( K ) + t ( 2 q − 2 r + σ 2 ) − 2 lo g ( currentPrice ) ​ ) )

​ t ( 2 q − 2 r + σ 2 ) + 2 lo g ( currentPrice K ​ ) ​ ) − currentPrice × e t ( r − q ) erfc ( 2 2

​ − 2 lo g ( K ) + t ( − 2 q + 2 r + σ 2 ) + 2 lo g ( currentPrice ) ​ ) + K )

Black-Шоулза – Black–Scholes model

Блэка-Шоулза / ˌ б л æ к ʃ oʊ л г / или Блэка-Шоулза-Мертона модель представляет собой математическую модель для динамики финансового рынка , содержащих производные инвестиционные инструменты. Из дифференциального уравнения парциального в модели, известной как уравнения Блэка-Шоулза , можно вывести Блэка-Шоулза формулу , которая дает теоретическую оценку цены в европейском стиле вариантов и показывает , что опция имеет уникальную цену независимо от того, риск безопасности и его ожидаемая доходность (вместо замены ожидаемой доходности ценной бумаги с риском нейтральной скорости). Формула привела к буму в торговле опционами и при условии математической легитимности деятельности опционной биржи Чикаго и других рынках опционов по всему миру. Он широко используется, хотя часто с поправками и исправлениями, участниками рынка варианты.

На основе работ ранее разработанных исследователями рынка и специалистов- практиков, таких как Луи Башелье , Sheen Kassouf и Эд Торп среди других, Фишер Блэк и Майрон Скоулз продемонстрировал в конце 1960 – х годов , что динамический пересмотр портфеля удаляющий ожидаемую доходность ценной бумаги, таким образом , изобретая нейтральный аргумент риска . В 1970 году , после того, как они попытались применить формулу к рынкам и понесенных финансовых потерь из – за отсутствия управления рисками в их профессии, они решили сосредоточиться на своей области области, в академической среде. После трех лет усилий, формула названа в честь них за то , что публику, наконец , была опубликована в 1973 году в статье под названием «Ценообразование опционов и корпоративные обязательства», в журнале политической экономии . Роберт К. Мертон был первым , чтобы опубликовать документ , расширяющийся математическое понимание модели оценки опционов, и ввел термин «Блэка-Шоулза вариантов ценообразования модели». Мертон и Шоулз получил в 1997 году Нобелевскую премию по экономике за работу, комитет со ссылкой на их открытие риска нейтральной динамического пересмотра , как прорыв , который отделяет вариант от риска базовой безопасности. Хотя права на приз из – за его смерти в 1995 году, Black был упомянут в качестве вкладчика по Шведской академии.

Ключевой идеей модели является хеджирование возможность путем покупки и продажи базового актива в только правильном пути и, как следствие, устранить риск. Этот тип хеджирования называется «постоянно пересматривались дельта – хеджирование » и является основой более сложных стратегий хеджирования , таких как те , в которых участвуют инвестиционные банки и хедж – фондов .

Предположения модели были ослаблены и обобщены во многих направлениях, что приводит к избытку моделей , которые в настоящее время используются в производных ценообразования и управления рисками. Именно понимание этой модели, как проиллюстрировано в формуле Блэка-Шоулза , которые часто используются участниками рынка, в отличие от реальных цен. Эти идеи включают в себя отсутствие арбитража границы и риск-нейтральные цены (благодаря постоянному пересмотру). Кроме того, уравнение Блэка-Шоулза , частичное дифференциальное уравнение , которое определяет цену опциона, позволяет ценообразование с использованием численных методов , когда явная формула не представляется возможным.

Формула Блэка-Шоулза имеет только один параметр , который не может непосредственно наблюдать на рынке: средняя будущую волатильность базового актива, хотя она может быть найдена из стоимости других вариантов. Так как стоимость опциона (путы ли или вызов) растут в этом параметре, он может быть инвертирован , чтобы произвести « летучесть поверхность » , которая затем используется для калибровки других моделей, например , для производных ОТК .


Мир Блэка-Шоулза

Модель Блэка-Шоулза предполагает, что рынок состоит из по меньшей мере одного рискованного актива, как правило, называют запас, и один безрисковый актив, обычно называемый денежный рынок, наличные деньги, или облигации.

Теперь мы делаем предположение относительно активов (которые объясняют их имена):

  • (безрисковая ставка) Ставка доходности по безрисковому активу является постоянной и , таким образом , называется безрисковой процентной ставкой .
  • (случайное блуждание) Мгновенный журнал возврат стоимости акций является бесконечно малым блужданием с дрейфом; точнее, это геометрическое броуновское движение , и мы будем считать его дрейф и волатильность являются постоянными (если они изменяющегося во времени, мы можем вывести соответствующим образом модифицированная формула Блэка-Шоулза довольно просто, пока волатильность не является случайным) ,
  • Акции не платят дивиденды .

Предположения на рынке:

  • Там нет арбитражных возможностей (то есть, нет никакого способа , чтобы сделать безрисковую прибыль).
  • Можно брать и одолжить любую сумму, даже дробное, денежных средств в безрисковые ставки.
  • Можно купить и продать любую сумму, даже дробную, запас (это включает в себя короткие продажи ).
  • Вышеуказанные сделки не влекут за собой какие – либо сборы или расходы (т.е. трений рынка ).

При этих предположениях проведение, предположим , что существует производная ценная бумага также торговать на этом рынке. Мы указываем , что эта безопасность будет иметь определенный выигрыш на определенную дату в будущем, в зависимости от значения (ов) , принятых акций до этой даты. Это удивительный факт , что цена производного инструмента полностью определяется в текущий момент времени, несмотря на то, что мы не знаем , какой путь цена акций будет принимать в будущем. Для частного случая европейского колл или пут опциона, Блэка и Шольца показал , что «можно создать хеджированную позицию , состоящую из длинной позиции в наличии и короткой позиции по опциону, значение которого не будет зависеть от цена акций». Их динамичная стратегия хеджирования приводит к дифференциальному уравнению , которое регулируется цена опциона. Ее решение дается формулой Блэка-Шоулза.

Некоторые из этих предположений исходной модели были удалены в последующих расширениях модели. Современные версии учета динамических процентных ставок (Мертон, 1976), трансакционные издержки и налоги (Ingersoll, 1976), а также выплаты дивидендов.


Обозначения, используемые в этой странице будет определяться следующим образом:

Блэка-Шоулза уравнение

Как и выше, уравнение Блэка-Шоулза является частичное дифференциальное уравнение , которое описывает цены опциона с течением времени. Уравнение:

Ключевая финансовая проницательность за уравнением является то , что один может отлично хеджировать возможность путем покупки и продаж , лежащий в основе актива только правильном образом и , следовательно , «исключить риск». Эта преграда, в свою очередь, означает , что есть только одна правильная цена за опцион, возвращенное по формуле Блэка-Шоулза (см следующий раздел ).

Блэка-Шоулза формула

Формула Блэка-Шоулза рассчитывает стоимость европейских пут и колл опционов . Эта цена соответствует с уравнением Блэка-Шоулза , как указано выше ; это следует , так как формула может быть получена путем решения уравнения для соответствующего терминала и граничных условий.

Значение опциона для не-дивиденд высокооплачиваемую основной запас в терминах параметров Блэка-Шоулза:

Стоимость соответствующего опциона на основе пут-вызова четности является:

Для обоих, как и выше :

Альтернативная формулировка

Представляя некоторые вспомогательные переменные позволяет формула быть упрощена и переформулируется в такой форме, которая часто более удобно (это особый случай Black ’76 формулы ):

С учетом паритета пут-колл, которая выражается в таких терминах, как:

С – п знак равно D ( F – К ) знак равно S – D К

цена опциона пут:


Формула Блэка-Шоулза можно интерпретировать достаточно удобным, с основным тонкостью при интерпретации (и тем более ) условий, в частности , и почему существует два разных термина. N ( d ± ) <\ Displaystyle N (D _ <\ рт>)> d ± <\ Displaystyle d _ <\ фт>> d + <\ Displaystyle D _ <+>>

Формула может быть истолкована первым разлагающимся опцион на разницу два бинарных опционов : актив или ничего вызов минус наличные или ничего вызов (длинный актив или ничего вызов, короткие наличные или- ничего вызова). Опцион колл обмена наличных актива по истечении срока, в то время как актив или ничего вызова просто дает актив (без наличных денег в обмен) и денежные средства или ничего вызов просто дает наличные деньги (без актива в обмен). Формула Блэка-Шоулза является разностью двух терминов, и эти два термина равно значению бинарных опционов. Эти бинарные варианты гораздо реже , чем торговали варианты ванили вызова, но легче анализировать.

Таким образом, формула:

где есть текущая стоимость актива или ничего вызова и является текущей стоимостью денежных средств или ничего вызова. D фактор дисконтирования, поскольку дата истечения срока действия в будущем, и удалить его изменения текущего значения будущей стоимости (стоимости по истечению срока). Таким образом , это будущая стоимость актива или ничего вызова и будущее значение денежных средств или ничего вызова. В нейтральных к риску условиях, это ожидаемая стоимость актива и ожидаемая стоимость денежных средств в риск-нейтральной мерой. D N ( d + ) F <\ Displaystyle DN (D _ <+>) F> D N ( d – ) К <\ Displaystyle DN (D _ <->) К> N ( d + ) F <\ Displaystyle N (D _ <+>)

Наивная, и не совсем правильно, интерпретация этих условий является то , что вероятность опциона истекает в деньгах , раз стоимость базового актива на момент экспирации F, в то время как вероятность опциона истекает в денежном раз значение денежные средства по истечению срока K. очевидно , что это неверно, так как либо оба бинарники истекают в деньгах или как истекают из денег (либо наличные деньги обмениваются на актив или нет), но вероятность и не равна. В самом деле, можно интерпретировать как меры денежности (в стандартных отклонениях) и как вероятности истекающей ITM ( процент денежности ), в соответствующем нумераторе , как описано ниже. Проще говоря, интерпретация денежных вариант, является правильной, поскольку стоимость денежного не зависит от движений лежащего в основе, и , таким образом , можно интерпретировать как простой продукт «раз вероятностных значений», в то время как более сложные, как вероятность истекающий в деньгах и стоимости актива по истечении не являются независимыми. Точнее, стоимость актива при истечении переменна в денежном выражении, но постоянно в терминах самих (фиксированное количество актива) активов, и , таким образом , эти величины являются независимыми , если один изменяет нумератор на актив , а не денежные средства. N ( d + ) F <\ Displaystyle N (D _ <+>) F> N ( d + ) <\ Displaystyle N (D _ <+>)> N ( d – ) К <\ Displaystyle N (D _ <->) К> N ( d – ) , <\ Displaystyle N (D _ <->),> N ( d + ) <\ Displaystyle N (D _ <+>)> N ( d – ) <\ Displaystyle N (D _ <->)> d ± <\ Displaystyle d _ <\ фт>> N ( d ± ) <\ Displaystyle N (D _ <\ рт>)> N ( d – ) К <\ Displaystyle N (D _ <->) К> N ( d + ) F <\ Displaystyle N (D _ <+>) F>

Если использовать точку S , а не вперед F, в вместо термина есть , который может быть интерпретирован как фактор дрейфа (в риск-нейтральная мера для соответствующего знаменателя). Использование д для денежности , а не стандартизированной денежности – других слов, причина фактора – это из – за разницы между средним и средним из логарифмический нормального распределения ; это тот же фактор , как и в лемме Ито, примененной к геометрическим броуновским движением . Кроме того, еще один способ , чтобы увидеть , что наивные интерпретация неверна в том , что замена N ( d + ) с помощью N ( д ) в формуле дает отрицательное значение из-оф-деньги опционов. d ± <\ Displaystyle d _ <\ фт>> 1 2 σ 2 <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <1><2>> \ Sigma ^ <2>> ( р ± 1 2 σ 2 ) τ , <\ Displaystyle \ слева (г \ ч <\ гидроразрыва <1><2>> \ Sigma ^ <2>\ справа) \ тау,> м знак равно 1 σ τ пер ⁡ ( F К ) <\ Displaystyle т = <\ гидроразрыва <1><\ сигма <\ SQRT <\ тау>>>> \ пер \ влево ( <\ гидроразрыва > \ справа)> 1 2 σ 2 <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <1><2>> \ Sigma ^ <2>>

Более подробно условия являются вероятностью варианты , истекающей в деньгах при эквивалентной экспоненциальной мартингальных вероятностной мере (знаменатель = складочной) и эквивалентной вероятности мартингальных мер (знаменатель = безрисковая актив), соответственно. Риск нейтральной плотности вероятности для котировок акций является N ( d 1 ) , N ( d 2 ) <\ Displaystyle N (D_ <1>), N (D_ <2>)> S T ∈ ( 0 , ∞ ) <\ Displaystyle S_ , \ в (0, \ infty)>

где определяется , как указано выше. d 2 знак равно d 2 ( К ) <\ Displaystyle D_ <2>= D_ <2>(К)>

В частности, есть вероятность того, что будет осуществляться при условии , что вызов предполагается , что дрейф активов является безрисковой ставкой. , Однако, не поддается простой вероятностной интерпретации. правильно интерпретируются как приведенная стоимость, используя безрисковую процентную ставку, ожидаемой стоимость активов по истечению срока действия, при условии , что цена актива по истечению срока выше цен исполнения. Для соответствующего обсуждения – и графическое представление – смотрите раздел «Интерпретация» по методу Datar-Mathews для реальной оценки опционов . N ( d 2 ) <\ Displaystyle N (D_ <2>)> N ( d 1 ) <\ Displaystyle N (D_ <1>)> S N ( d 1 ) <\ Displaystyle С.Н. (D_ <1>)>

Эквивалентная вероятность мартингальной мера также называется риском-нейтральный вероятностной мерой . Следует отметить , что оба эти вероятности в меру теоретическому смысле, и ни один из них является истинной вероятность истекающий в деньгах под реальной вероятностной меры . Для вычисления вероятности при реальном ( «физической») вероятностной меры, требуется дополнительная информация-дрейфовый в физических мерах, или , что эквивалентно, на рыночную цене риски .


Стандартный вывод для решения Блэка-Шоулза PDE дается в статье уравнения Блэка-Шоулза .

Формула Фейнмана-Каца говорит , что решение этого типа ФДЭ, когда дисконтированных надлежащим образом , на самом деле является мартингалом . Таким образом, цена опциона является ожидаемой стоимостью дисконтированного выигрыша опциона. Вычисление цены опциона с помощью этого ожидания является нейтральность риска подходом и может быть сделано без ведома ФДЭ. Обратите внимание на ожидание в опции выигрыша не делается при реальном мире вероятностной меры , но искусственный риск-нейтральная мера , которая отличается от реального мира меры. Для базовой логики смотрите раздел «риска нейтральной оценки» в соответствии с Rational ценообразовании , а также раздел «Derivatives ценообразования: в Q мир » по математическому финансов ; для деталей, еще раз, см Халл.


« Греки » измерить чувствительность стоимости производного или портфель в случае изменения значения параметра (ов), удерживая другие параметры фиксированные. Они являются частными производными по цене по отношению к значениям параметров. Один греческий, «гамма» (а также другие , не перечисленные здесь) представляет собой частную производную от другого греческого, «дельта» в данном случае.

Греки имеют важное значение не только в математической теории финансов, но и для тех, кто активно торгуют. Финансовые учреждения, как правило, устанавливаются (риска) предельные значения для каждого из греков, что их торговцы не должны превышать. Дельта является наиболее важными греческой, так как это, как правило, дает наибольший риск. Многие трейдеры обнулению дельту в конце дня, если они размышляют и ниже дельта-нейтральный подход хеджирования, как это определено Блэка-Шоулза.

Греки для Блэка-Шоулза приведены в замкнутой форме ниже. Они могут быть получены путем дифференцирования формулы Блэка-Шоулза.

Вызовы Оферты
дельта ∂ С ∂ S <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <\ парциальное C>, <\ парциальное S>>> N ( d 1 ) <\ Displaystyle N (D_ <1>) \,> – N ( – d 1 ) знак равно N ( d 1 ) – 1 <\ Displaystyle -N (-d_ <1>) = N (D_ <1>) – 1 \,>
Гамма ∂ 2 С ∂ S 2 <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <\ парциальное ^ <2>> <С \ парциальное S ^ <2>>>> N ‘ ( d 1 ) S σ T – T <\ Displaystyle <\ гидроразрыва )> >>> \,>
Вега ∂ С ∂ σ <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <\ парциальное C>, <\ парциальное \ сигма>>> S N ‘ ( d 1 ) T – T <\ Displaystyle С.Н. '(D_ <1>) <\ SQRT > \,>
Theta ∂ С ∂ T <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <\ парциальное C>, <\ парциальное т>>> – S N ‘ ( d 1 ) σ 2 T – T – р К е – р ( T – T ) N ( d 2 ) <\ Displaystyle - <\ гидроразрыва ) \ Sigma> <2 <\ sqrt >>> – RKE ^ <- г (Т)>N (D_ <2>) \,> – S N ‘ ( d 1 ) σ 2 T – T + р К е – р ( T – T ) N ( – d 2 ) <\ Displaystyle - <\ гидроразрыва ) \ Sigma> <2 <\ sqrt >>> + N (-d_ <2>) \, >
ро ∂ С ∂ р <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <\ парциальное C>, <\ частичного г>>> К ( T – T ) е – р ( T – T ) N ( d 2 ) <\ Displaystyle К (Т) е ^ <- г (Т)>N (D_ <2>) \,> – К ( T – T ) е – р ( T – T ) N ( – d 2 ) <\ Displaystyle -K (Тг) е ^ <- г (Т)>N (-d_ <2>) \,>

Заметим , что из формул, то ясно , что гамма имеет то же значение для звонков и ставит , и поэтому тоже Веги то же значение для звонков и опционы пут. Это можно увидеть непосредственно из паритета пут-вызовов , так как разность пут и вызов является прямым, который является линейным в S и не зависят от сга (так вперед имеет нулевые гамма и нулевую Вегу). N»является стандартной нормальной функции плотности вероятности.

На практике, некоторые чувствительности, как правило, указаны в терминах уменьшенных, чтобы соответствовать масштабу возможных изменений параметров. Например, Rho часто сообщается делится на 10000 (1 основа изменения скорости точки), вега 100 (1 об изменении точки) и тета по 365 или 252 (1 день распада на основе либо календарных дней или торговых дней в году).

(Vega не буква греческого алфавита, имя возникает от чтения греческой буквы v (ню) в качестве V.)

Расширения модели

Выше модель может быть расширена для переменного (но детерминированного) ставка и летучести. Модель также может быть использована , чтобы оценить европейские варианты по инструментам выплаты дивидендов. В этом случае, в замкнутом виде решения доступны , если делимое известная доля цены акций. Американские опционы и опционы на акции , оплачивающую известные денежные дивиденды (в краткосрочной перспективе, более реалистичный , чем пропорциональные дивиденды), более трудно оценить, и выбор методов решения доступен (например , решетки и сетки ).

Инструменты оплачивая непрерывные дивиденды урожая

Для опционов на индексы, то разумно сделать упрощающее предположение, что дивиденды выплачиваются постоянно, и что сумма дивидендов пропорционально уровню индекса.

Выплата дивидендов , выплаченная в течение периода времени , затем моделируются как [ T , T + d T ]

для некоторой константы (с выходом дивидендов ). Q

При такой постановке безарбитражных цена вытекает из модели Блэка-Шоулза может быть показано

С ( S T , T ) знак равно е – р ( T – T ) [ F N ( d 1 ) – К N ( d 2 ) ] <\ Displaystyle С (S_ <т>, т) = е ^ <- г (Т)>[FN (D_ <1>) – КН (D_ <2>)] \,>

п ( S T , T ) знак равно е – р ( T – T ) [ К N ( – d 2 ) – F N ( – d 1 ) ] <\ Displaystyle Р (S_ <т>, т) = е ^ <- г (Т)>[КН (-d_ <2>) – FN (-d_ <1>)] \,>

является модифицированной форвардной ценой , которая возникает в условиях : d 1 , d 2 <\ Displaystyle D_ <1>, D_ <2>>

Инструменты платят дискретные пропорциональные дивиденды

Кроме того, можно расширить рамки Блэка-Шоулза опционов на инструменты, оплачивающих дискретные пропорциональные дивиденды. Это полезно, когда опция ударил по одной акции.

Типичная модель предположить , что доля цены акций выплачивается в заранее определенные промежутки времени . Цена акции затем моделируется как δ <\ Displaystyle \ дельта>T 1 , T 2 , . <\ Displaystyle T_ <1>, <2 t_>, \ ldots>

где это количество дивидендов , которые были выплачены по времени . N ( T ) <\ Displaystyle п (т)>T

Цена опциона на такой акции снова

С ( S 0 , T ) знак равно е – р T [ F N ( d 1 ) – К N ( d 2 ) ] <\ Displaystyle С (S_ <0>, Т) = е ^ <- тт>[FN (D_ <1>) – КН (D_ <2>)] \,>

это форвардная цена на дивиденды платят акции.

американские опционы

Задача нахождения цены на американский опционе связана с оптимальной остановкой проблемы найти время , чтобы выполнить функцию. Поскольку американский опцион может быть исполнен в любое время до истечения срока действия, уравнение Блэка-Шоулза становится неравенство вида

с терминалом и (бесплатно) граничными условиями: и где обозначает выигрыш в цене акций . В ( S , T ) знак равно ЧАС ( S ) <\ Displaystyle В (S, T) = H (S)>В ( S , T ) ≥ ЧАС ( S ) <\ Displaystyle В (S, T) \ GEQ Н (S)>ЧАС ( S ) <\ Displaystyle Н (S)>S

В общем случае это неравенство не имеет замкнутую форму решения, хотя американский вызов без каких – либо дивидендов равно европейского вызова и метод Roll-Geske-Уэйли предоставляет решение для американского вызова с одного дивидендом; Смотрите также приближение Блэк .

Барон-Adesi и Уэйли является еще формулой аппроксимации. Здесь, стохастическое дифференциальное уравнение (которое справедливо для любого значения производной) разделяется на две составляющие: европейское значение параметра и раннюю физической премию. С некоторых предположениях квадратное уравнение , что приближает решение для последнего затем получается. Это решение включает в себя нахождение критического значения , таким образом, что один равнодушно между ранним упражнения и держать до погашения. s *

Bjerksund и Стенсланны обеспечивают приближение на основе стратегии упражнений , соответствующую цену триггера. При этом, если цена базового актива больше или равна цене спусковой оптимально осуществлять, и это значение должно равняться , в противном случае опция «сводится к: (I) европейский вверх и наружу опциону . и (б) уступка , который получил в нокауте даты , если опцион выбит до даты погашения». Формула легко модифицируются для оценки опциона пут, используя соотношение пут-колл . Это приближение является вычислительно недорого и метод быстро, свидетельствующим о том, что приближение может быть более точным , в ценах долго датированные вариантов , чем Барон-Adesi и Уэйли. S – Икс

Бинарные опционы

Решая дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза, с для граничного условия на функцию Хевисайда , мы в конечном итоге ценообразования опционов , которые платят одну единицу выше некоторого предопределенного страйком и ничего ниже.

На самом деле, формула Блэка-Шоулза по цене опциона ваниль вызова (или поставить вариант) может быть истолковано разлагающихся опцион в колл-опциона актива или ничего минус опцион на наличные или ничего, а так же для пут – бинарные варианты легче анализировать, и соответствуют два слагаемых в формуле Блэка-Шоулза.

Наличный или ничего вызова

Это выплачивает одну единицу денежных средств, если пятно выше забастовки на зрелость. Его значение определяется

Наличный или ничего не ставить

Это выплачивает одну единицу денежных средств, если пятно находится под удар в конце срока. Его значение определяется

Активов или ничего вызова

Это платит одну единицу активов, если пятно выше забастовки на зрелость. Его значение определяется

Активов или ничего не ставить

Это платит одну единицу активов, если пятно находится под удар в конце срока. Его значение определяется

Иностранная валюта

Если мы обозначим через S в FOR / DOM обменный курс (т.е. 1 единица иностранной валюты на сумму единицы S отечественной валюты) мы можем наблюдать , что выплата 1 единицы национальной валюты , если место в зрелости выше или ниже забастовки это так же , как наличные или ничего вызов и поставить соответственно. Кроме того , выплата 1 единицы иностранной валюты , если место в зрелости выше или ниже удара точно как актив или ничего вызов и поставить соответственно. Следовательно , если мы теперь возьмем , внешняя процентную ставку, , внутренняя процентная ставка, а остальное , как указано выше, мы получаем следующие результаты. р F О р <\ Displaystyle r_ > р D О M <\ Displaystyle r_ >

В случае цифрового вызова (это вызов FOR / поместить DOM) выплачивая одну единицу национальной валюты мы получаем в качестве текущей стоимости,

В случае цифрового положить (это положить FOR / вызов DOM) выплачивая одну единицу национальной валюты мы получаем в качестве текущей стоимости,

В то время как в случае цифрового вызова (это вызов FOR / поместить DOM) выплачивая одну единицу иностранной валюты мы получаем в качестве текущей стоимости,

и в случае цифрового положить (это положить FOR / вызов DOM) выплачивая одну единицу иностранной валюты мы получаем в качестве текущей стоимости,

В стандартной модели Блэка-Шоулза, можно интерпретировать премии бинарного опциона в риск-нейтральный мир , как ожидаемое значение = вероятность того , что в деньгах * единицу, дисконтированных к текущей стоимости. Модель Блэка-Шоулза зависит от симметрии распределения и игнорирует асимметрию распределения актива. Маркетмейкеры настроить такой перекос с помощью, вместо использования одного стандартного отклонения для базового актива во всех ударов, включая переменную один , где волатильность зависит от цены исполнения опциона, тем самым включения волатильности перекос во внимание. Косые вопросы , потому что это влияет на двоичный значительно больше , чем обычные варианты. σ <\ Displaystyle \ сигма>σ ( К )

Опция двоичного вызова, на длинных выдохах, похожих на тугое распространение вызовов с использованием двух вариантов ванили. Можно моделировать значение бинарного опциона наличных или ничего, C , при страйк K , как infinitessimally тугого распространение, где есть ваниль европейский вызов: С v <\ Displaystyle C_ >

Таким образом, значение двоичного вызова является негативом производной от цены ванильным звонка относительно страйкий:

Когда один принимает волатильности перекос во внимание, является функцией : σ <\ Displaystyle \ сигма>К

Первый член равен премии бинарного опциона не обращая внимания перекос:

∂ С v ∂ σ <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <\ частичная C_ > <\ парциальное \ сигма>>> является Vega вызова ванили; иногда называют «косым склон» или просто «перекос». Если перекос обычно отрицательное значение двоичного вызова будет выше при приеме перекоса во внимание. ∂ σ ∂ К <\ Displaystyle <\ гидроразрыва <\ парциальное \ Sigma><\ парциальное К>>>

Отношение к грекам OPTIONS Vanilla

Поскольку двоичный вызов является математической производной ванильным вызова по отношению к забастовке, цена бинарного вызова имеет ту же форму, что и дельта ванильным вызова, а также дельта бинарного вызова имеет ту же форму, что и гаммы ванильный вызов.

Блэка-Шоулза на практике

Предположения модели Блэка-Шоулза не все эмпирически действительными. Модель широко используется в качестве полезного приближения к действительности, но правильное применение требует понимания его ограничений – слепое следование модели подвергает пользователя неожиданном риску. Среди наиболее существенных ограничений являются:

  • недооценка экстремальных движений, давая хвост риск , который может быть хеджирование с вне-денег вариантов;
  • допущение момент, затрат меньше торговли, уступая риск ликвидности , который трудно хеджировать;
  • предположение стационарного процесса, что дает волатильности риска , который может быть хеджируемый с летучестью хеджирование;
  • предположение о непрерывном времени и непрерывной торговли, получая разрыв риска, который может быть хеджируемый с Gamma хеджирование.

Короче говоря, в то время как в модели Блэка-Шоулза можно отлично хеджевых вариантов просто Дельта хеджирование , на практике существует много других источников риска.

Результаты с использованием модели Блэка-Шоулза отличаются от реальных цен из – за упрощающих допущений модели. Одним существенным ограничением является то , что в действительности цены безопасности не следовать строгой стационарную логнормальный процесс, не является безрисковой интерес на самом деле известно (и не меняется со временем). Дисперсии наблюдалось , чтобы быть непостоянной ведущим к модели , такие как GARCH для моделирования изменения волатильности. Ценообразование расхождения между эмпирическими и модели Блэка-Шоулза уже давно наблюдается в вариантах, которые далеко вне-деньги , соответствующие экстремальным изменениям цен; такие события будут очень редко , если возвращается были логнормально распределены, но наблюдаются гораздо чаще на практике.

Тем не менее, Блэка-Шоулза цен широко используется на практике, потому что:

  • легко вычислить
  • полезное приближение, в частности, при анализе направления, в котором цена двигаться при пересечении критических точек
  • надежная основа для более утонченных моделей
  • обратимым, так как модель в первоначальной выходной, цена, может быть использован в качестве входного сигнала и одного из других переменных , решаемых для; подразумеваемая волатильность рассчитывается таким образом , часто используются для цен опционов цитаты (то есть, как котирования ).

Первая точка самоочевидно полезно. Остальные могут быть дополнительно обсуждены:

Полезное приближение: хотя волатильность не постоянна, результаты модели часто помогают в создании живой изгороди в правильных пропорциях, чтобы свести к минимуму риск. Даже если результаты не вполне точны, они служат в качестве первого приближения, к которому могут быть внесены коррективы.

Основа для более утонченных моделей: Модель Блэка-Шоулза является надежной в том , что она может быть скорректирована , чтобы иметь дело с некоторыми из своих неудач. Вместо того , чтобы рассматривать некоторые параметры (такие как волатильность или процентные ставки) , как постоянные, одна рассматривают их как переменные, и , таким образом , добавили источники риска. Это находит свое отражение в Греции (изменение значения параметра для изменения этих параметров, или , что эквивалентно частные производные по этим переменным) и хеджирование этих греков снижает риск , вызванный непостоянной природы этих параметров. Другие дефекты , не могут быть уменьшены путем изменения модели, однако, в частности , хвост риск и риск ликвидности, и они вместо этого удалось за пределами модели, главным образом , за счет минимизации этих рисков и стресс – тестирования .

Явное моделирование: эта особенность означает , что вместо того , предполагая , что летучесть априорной и вычисления цены от него, можно использовать модель для решения волатильности, которая дает подразумеваемой волатильности опциона при заданных ценах, продолжительности и цены упражнений. Решение волатильности в течение заданного набора длительностей и цены ударными, можно построить подразумеваемой волатильности поверхности . В этом применении модели Блэка-Шоулза, преобразование координат из области цен на домен волатильности получается. Вместо того , чтобы процитировать цены опционов в долларах на единицу (которые трудно сравнить по забастовкам, длительностям и купонных частотам), цены опциона , таким образом , могут быть указаны в терминах подразумеваемой волатильность, что приводит к торговле волатильность опционов рынков.

Нестабильность улыбка

Одной из привлекательных особенностей модели Блэка-Шоулза является то , что параметры модели, отличной от волатильности (время до погашения, забастовки, процентной ставки без риска и текущей цены базового) являются однозначно наблюдаемым. При прочих равных условиях , теоретическое значение опциона является монотонно возрастающей функцией подразумеваемой волатильности.

При вычислении подразумеваемой волатильности для торгуемых опционов с различными забастовками и сроками, модель Блэка-Шоулза может быть проверена. Если модель Блэка-Шоулза провел, то подразумеваемая волатильность для конкретной акции будет одинаковой для всех ударов и сроков погашения. На практике поверхность волатильности (3D – график подразумеваемой волатильности против удара и зрелости) не является плоской.

Типичная форма кривой подразумеваемой волатильности для данного зрелости зависит от базового инструмента. Ценные бумаги , как правило, имеют скошенные кривые: по сравнению с в деньгах , подразумеваемая волатильность существенно выше для низких ударов, и немного ниже для высоких ударов. Валюта , как правило, имеют более симметричные кривые, с подразумеваемой волатильности самая низкая в деньгах и высших летучести в обоих крыльев. Товары часто имеют обратное поведение на акцию, с более высокой подразумеваемой волатильностью для более высоких ударов.

Несмотря на существование улыбки волатильности (и нарушение всех других предположений модели Блэка-Шоулза), Блэка-Шоулза PDE и Блэка-Шоулза формула до сих пор широко используются на практике. Типичный подход рассматривать поверхность волатильности как факт о рынке, а также использовать подразумеваемой волатильности от него в модели оценки Блэка-Шоулза. Это было описано , как с помощью «неправильный номер в неправильной формуле , чтобы получить правильную цену». Этот подход также дает используемые значения для отношений хеджирования (греки). Даже при использовании более продвинутые модели, трейдеры предпочитают думать в терминах Блэка-Шоулза подразумеваемой волатильности , поскольку это позволяет им оценить и сравнить варианты с различными сроками погашения, забастовки и так далее. Для обсуждения , как в различных альтернативных подходов , разработанных в данном разделе , финансовая экономика § Проблемы и критики .

Ценить варианты облигаций

Блэк-Шоулз не может быть применен непосредственно к облигационным ценным бумагам из – за тяги-к-пара . Поскольку связь достигает даты погашения, все цены , связанных с связи стало известно, тем самым уменьшая его изменчивость, и простой черно-Шоулза не отражает этот процесс. Большое количество расширений Блэка-Шоулза, начиная с Черной модели , были использованы для борьбы с этим явлением. См вариант Bond: Оценка .

Кривая процентных ставок

На практике процентные ставки не являются постоянными – они различаются в зависимости от тенора (купона частоты), что дает кривую процентных ставок , которые могут быть интерполированы , чтобы выбрать подходящую скорость для использования в формуле Блэка-Шоулза. Другое соображение состоит в том , что процентные ставки изменяются во времени. Эта нестабильность может внести значительный вклад в цену, особенно длинномерных от options.This просто как соотношение цен и процентных ставок облигаций , которая находится в обратной зависимости.

Краткий курс акций

Это не бесплатно , чтобы взять короткие фондовые позиции. Кроме того , это может быть возможно протянуть длинную позицию акции за небольшую плату. В любом случае, это можно рассматривать как сплошные дивиденды для целей нормирования Блэк-Шоулза, при условии , что не существует явная асимметрии между краткосрочными стоимостями акций заимствования и доходами кредитования долго акций.

Критика и комментарии

Эспен Gaarder Хауг и Талеб утверждают , что модель Блэка-Шоулза просто переделывает существующие широко используемые модели с точки зрения практически невозможно «динамическое хеджирование» , а не «риска», чтобы сделать их более совместимыми с господствующей неоклассической экономической теории. Они также утверждают , что Boness в 1964 году уже опубликовал формулу, которая «фактически идентичны» в опционе цен уравнения Блэка-Шоулза. Эдвард Торп также утверждает, что разгадал формулу Блэка-Шоулза в 1967 году , но сохранил его для себя , чтобы заработать деньги для своих инвесторов. Emanuel Дерман и Нассим Талеб также критиковали динамическое хеджирование и заявляют , что ряд исследователей выдвинули аналогичные модели ранее Блэку и Скоулза. В ответ Павел Уилмотт защитил модель.

Британский математик Ян Стюарт опубликовал критику , в которой он предположил , что «само уравнение не было реальной проблемой» , и он заявил о возможной роли в качестве «одного ингредиента в богатой рагу финансовой безответственности, политической неумелости, порочных стимулов и слабого регулирования» из – за его злоупотребления в финансовой сфере.

В 2008 письме к акционерам Berkshire Hathaway , Уоррен Баффет писал: «Я считаю , что формула Блэка-Шоулза, несмотря на то, что является стандартом для установления ответственности доллара опционов, дает странные результаты , когда долгосрочные разнообразие являются оцениваемыми . формула Блэка-Шоулза подошел статус священного писания в области финансов . Если формула применяется для длительных периодов времени, однако, это может привести к абсурдным результатам. справедливости ради, Блэка и Шольца почти наверняка понимал эту точку хорошо . Но их преданные последователи могут быть игнорируя любые предостережений двух мужчин , прикрепленных , когда они впервые представили формулу «.

Best Binary Options Brokers 2021:
  • EvoTrade

    The Best Broker! Try it and get a 10 000 $ bonus!

  • NS Broker
    NS Broker

    5000$ bonus to each trader!


    Best Options Broker 2020!
    Great Choice For Beginners!
    Free Trading Education!
    Free Demo Account 1000$!
    Get Your Sign-Up Bonus Now!


    Only For Experienced Traders!

Like this post? Please share to your friends:
Binary Trading Library
Leave a Reply

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: